Lógica y teoría de conjuntos (pdf_ 2.5 Mb)
(Corregidas erratas el 4-10-04)
Apuntes de dos cursos que he impartido en el Departamento de Análisis Matemático. Pretende aportar la base necesaria para seguir adecuadamente un próximo curso de pruebas de consistencia en teoría de conjuntos. Más concretamente, se divide en tres partes:

Primera parte: Lógica de primer orden
Teorías axiomáticas, introducción a la teoría de modelos, el teorema de completitud de Gödel, introducción a la teoría de la recursión, los teoremas de incompletitud de Gödel.

Segunda parte: La lógica de la teoría de conjuntos
Las axiomáticas de Zermelo-Fraenkel y von Neumann-Bernays-Gödel, modelos de la teoría de conjuntos, la formalización de la lógica en la teoría de conjuntos.

Tercera parte: Teoría de conjuntos
Ordinales, inducción y recursión sobre relaciones bien fundadas, cardinales.

En la primera parte se incide en los problemas de fundamentación de la matemática, defendiendo en todo momento una postura finitista al estilo de Hilbert pero ampliada para reconocer la legitimidad de los razonamientos metamatemáticos en torno a colecciones numerables. En la segunda parte se incide en la particularización de los resultados obtenidos en la primera parte al caso concreto de la teoría de conjuntos. Doy una prueba específica del segundo teorema de incompletitud. La tercera parte está encaminada a estudiar la exponenciación cardinal. Se estudian las consecuencias de la hipótesis de los cardinales singulares, y en particular de la hipótesis del continuo generalizada.

Autor: Carlos Ivorra Castillo
Profesor Titular del Departamento de Matemática Económico-Empresarial de la Facultad de Economía de la Universidad de Valencia.

Pruebas de Consistencia (pdf_ 3.3 Mb)
Consta de dos partes, la primera de las cuales se corresponde con un curso que he impartido en el Departamento de Análisis Matemático.

Primera parte: Teoría básica y aplicaciones
Modelos de la teoría de conjuntos, constructibilidad, extensiones genéricas, álgebras de Boole. Aplicaciones.

Segunda parte: Cardinales grandes
Cardinales medibles, débilmente compactos, de Ramsey, compactos, supercompactos y enormes. Aplicaciones.

En la primera parte se introducen las técnicas básicas de pruebas de consistencia. Como aplicaciones se demuestra (entre otros muchos ejemplos) el teorema de Easton sobre las posibilidades de la función del continuo sobre cardinales regulares, la independencia del axioma de elección, la consistencia del axioma de Martin, la independencia del problema de Suslin, del problema de la aditividad de la medida de Lebesgue y de la existencia de extensiones de la medida de Lebesgue a todos los subconjuntos de números reales.

En la segunda parte se estudian los cardinales grandes más importantes y su aplicación a las pruebas de consistencia. Entre otros resultados, se prueba la consistencia de la negación de la hipótesis de los cardinales singulares (relativa a la existencia de un cardinal supercompacto).

Autor: Carlos Ivorra Castillo
Profesor Titular del Departamento de Matemática Económico-Empresarial de la Facultad de Economía de la Universidad de Valencia.

Apuntes de Cálculo I
Índice y Bibliografía (pdf_ 48 Kb)
Capítulo 1 (pdf_ 132 Kb)
Capítulo 2 (pdf_ 260 Kb)
Capítulo 3 (pdf_ 260 Kb)
Capítulo 4 (pdf_ 336 Kb)
Capítulo 5 (pdf_ 332 Kb)
Capítulo 6 (pdf_ 144 Kb)
Problemas Adicionales (pdf_ 156 Kb)

Además existe las siguiente colección de problemas comunes para 4 de los 6 grupos de Cálculo I de la Licenciatura en Físicas de la UCM (en su mayor parte proviene de versiones antiguas de mis apuntes):
Problemas Comunes (A,B,C,D) (pdf_ 132 Kb)
Solución de estos problemas (pdf_ 224 Kb)

La primera versión digital completa de mis apuntes de Cálculo data de 1995 (todavía con los dibujos hechos a mano; los cursos anteriores distribuía unos manuscritos cuyos capítulos iba sustituyendo por los hechos a ordenador). La antepenúltima, de 2001, constaba de 84 páginas. Para comienzos del curso 2003-04 elaboré una nueva versión (bastante modificada) en LaTeX con 112 páginas (9 de ‘problemas adicionales’ y unos 170 dibujos). Los pdf de arribaes la versión (con los temas reordenados) de los apuntes de este curso 04-05.

Autor: Pepe Aranda Iriarte
Profesor Titular del Departamento de Fisica Teórica II (Métodos Matemáticos de la Física) de la Universidad Complutense de Madrid.

Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I
Portada, Índice y Bibliografía (pdf_ 12 Kb)
Capítulo 1 (pdf_ 193 Kb)
Capítulo 2 (pdf_ 183 Kb)
Capítulo 3 (pdf_ 114 Kb)
Capítulo 4 (pdf_ 141 Kb)
Problemas (pdf_ 52 Kb)

La primera versión de estos apuntes es la de 1999, adaptación los apuntes de EDOs del plan antiguo, en los que se pueden ver algunos pocos temas algo más avanzados (la asignatura actual es de 2º curso en lugar de 3º, y tiene 6 créditos en lugar de 7.5). La última versión, con bastantes diferencias acumuladas en teoría, ejemplos y problemas, es la del curso pasado 03-04 (este curso no los he tocado). Actualmente constan de 70 páginas (8 de ellas de problemas) y contienen unos 60 dibujos.

Los problemas que más suelo hacer en las clases son los que provienen de las que eran, hasta el curso pasado 03-04, las hojas de problemas comunes a todos los grupos (parte de los problemas provienen de versiones viejas de mis apuntes y recogen también casi todos los exámenes propuestos en los últimos años; en ellas han intervenido además, por tanto, todos los profesores que se han ido sucediendo en la asignatura: L. Abellanas, F. Guil, M.A. Rodríguez, A. González y E. Olmedilla):

Hojas de problemas 04-05 (pdf_ 88 Kb)

Soluciones resumidas de estas hojas (pdf_ 160 Kb)

Autor: Pepe Aranda Iriarte
Profesor Titular del Departamento de Fisica Teórica II (Métodos Matemáticos de la Física) de la Universidad Complutense de Madrid.

Análisis no estándar (pdf_ 854 Kb)
Apuntes de un curso de Análisis no estándar que he impartido también en el Departamento de Análisis Matemático. Sigo la axiomática de Nelson y presento la axiomática de Hrbacek en un apéndice. Demuestro para ambas el teorema de conservación, según el cual todo teorema interno demostrable a partir de los axiomas no estándar es también un teorema de ZFC. Se muestra el enfoque no estándar del análisis real de una y varias variables y de la topología general.

Autor: Carlos Ivorra Castillo
Profesor Titular del Departamento de Matemática Económico-Empresarial de la Facultad de Economía de la Universidad de Valencia.

Algebra (pdf_ 2 Mb)
Apuntes que he usado en un curso de introducción a la teoría algebraica de números impartido en el Departamento de Análisis Matemático. En realidad no son apuntes confeccionados para el curso, sino unos apuntes de álgebra autocontenidos que ya tenía escritos. Constan de 17 capítulos y dos apéndices. En el capítulo XII se demuestra que los anillos de enteros algebraicos de los cuerpos numéricos son dominios de Dedekind. Los capítulos previos contienen todo lo necesario para llegar a definir estas nociones, probar el resultado y comprender su importancia (anillos, módulos y espacios vectoriales, extensiones de cuerpos, grupos, matrices y determinantes, etc.) Los dos capítulos siguientes estudian más a fondo el caso de los cuerpos cuadráticos, los capítulos XV y XVI (Teoría de Galois y Módulos finitamente generados) presentan algunos resultados adicionales de cara a un futuro curso de Teoría de Números más avanzado que pienso impartir el año que viene. Finalmente, el capítulo XVII trata sobre resolución de ecuaciones por radicales.

Autor: Carlos Ivorra Castillo
Profesor Titular del Departamento de Matemática Económico-Empresarial de la Facultad de Economía de la Universidad de Valencia.