Lugares geométricos

Definición: Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades:

Índice:

  1. Mediatriz de un segmento
  2. Bisectriz de un ángulo
  3. Circunferencia
  4. Circuncentro de un triángulo
  5. Baricentro de un triángulo
  6. Ortocentro de un triángulo
  7. Incentro de un triángulo
  8. Recta de Euler en un triángulo
  9. Cónicas
    1. Elipse
    2. Hipérbola
    3. Parábola
    4. Circunferencia
  10. Caracol de Pascal a una cónica
    1. Caracol de Pascal en una circunferencia
    2. Caracol de Pascal en una elipse
    3. Caracol de Pascal en una parábola
    4. Caracol de Pascal en una hipérbola
  11. Cisoides
    1. Cisoide en una circunferencia
    2. Cisoide en una hipérbola
    3. Cisoide en una elipse

 

  1. Mediatriz de un segmento de extremos conocidos A y B:

Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de ambos extremos. Dichos puntos, son los puntos de la recta perpendicular al segmento  AB que pasa por el punto medio, I, de éstos

Mediatriz de un segmento AB

  1. Bisectriz de un ángulo:

Fijado un ángulo, determinado por dos semirrectas con un origen común O, la bisectriz de dicho ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que pasando por O equidistan de ambas rectas.
También podemos afirmar que es la recta que pasando por O divide al ángulo en dos partes iguales

Bisectriz de un ángulo

Nota: Dadas dos rectas r y s secantes en un punto O; siempre podremos dibujar la bisectriz interior (Que corresponde al menor de los ángulos entre r y s) y las bisectriz exterior que corresponde al suplementario del ángulo anterior.

Bisectrices de dos rectas secantes

  1. Circunferencia de centro C y radio r:

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo C denominado centro. Dicha distancia es el radio

Circunferencia de centro C y radio r

 

  1. Circuncentro de un triángulo de vértices ABC:

Es el punto de intersección de las mediatrices de cada uno de los lados del triángulo. Dicho punto es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo

Circuncentro de un triángulo

  1. Baricentro (o centro de gravedad) de un triángulo de vértices ABC:

Es el punto de intersección de las medianas de cada uno de los vértices del triángulo. Mediana de un vértice es la recta que pasa por dicho vértice y por el punto medio del lado opuesto.

Baricentro de un triángulo

  1. Ortocentro  de un triángulo de vértices ABC:

Es el punto de intersección de las rectas alturas de cada uno de los vértices del triángulo. Altura de un vértice es la recta que pasa por dicho vértice y perpendicular al lado opuesto.

Ortocentro de un triángulo

  1. Incentro  de un triángulo de vértices ABC:

Es el punto de intersección de las bisectrices interiores de cada uno de los ángulos del triángulo. Bisectriz de un vértice del triángulo es la recta que pasa por dicho vértice y divide a dicho ángulo interior en dos partes iguales. (Es la bisectriz interior de las rectas que contienen dos lados del triángulo).
Es el centro de la circunferencia inscrita en dicho triángulo

Incentro de un triángulo

Nota: Es interesante remarcar que el ortocentro, baricentro y circuncentro de cualquier triángulo están alineados. A dicha recta que los contiene se le denomina recta de Euler

Recta de Euler


 

Cónicas (las imágenes son de wikipedia)

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a la intersección de un cono circular recto de dos hojas con un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en tres tipos: elipse, parábola e hipérbola

.

Elipse:

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Elementos de la elipse

En el vínculo siguiente , la construimos utilizando la definición

Elipse

Ahora; vamos a dibujar una elipse de otra manera:
Dada una circunferencia c de centro A y un punto interior, C, a ella,
El lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes a la circunferencia c y pasan por C es una elipse

Elipse perfecta

Hipérbola:

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya valor absoluto de la diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.
Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.

Elementos de la hipérbola

En el vínculo siguiente , la construimos utilizando la definición a partir de los focos y de un punto de la hipérbola

Hipérbola

Parábola:

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz

Parábola

Construcción de la parábola a partir de la definición

Construcción de la parábola


 

Caracol de Pascal

Caracol de Pascal en una cónica

Se consideran una cónica c y un punto exterior B a ella
Consideramos un punto A variable sobre la cónica c
En él dibujamos su recta tangente, t, a la cónica
Desde B trazamos una recta perpendicular (s) a dicha recta t
Esta recta s corta a la recta t en un punto P
El lugar geométrico de los puntos P obtenidos al hacer variar A a lo largo de la cónica es lo que aparece en rojo

 

  1. Cararacol de Pascal  circunferencia (Si el punto pertenece a la circunferencia se denomina cardiode)

  2. Cararacol de Pascalen una elipse 

  3. Varios caracoles en una elipse

  4. Cararcol de Pascal en una parábola

  5. Caracol de Pascal en una hipérbola

 


Cisoides

Cisoide en una circunferencia

Dibujamos una circunferencia c centrada en C y dibujamos uno de sus diámetros (puntos A y B)
Desde B trazamos una recta, t, perpendicular al eje AB
Ahora consideramos sobre la circunferencia c un punto arbitrario P
Desde A trazamos la recta, s, que pasa por A y por P
La recta s corta a la recta t en el punto J
Después con centro en J y radio la distancia(J,B) trazamos una circunferencia c'
Dicha circunferencia c' corta a la recta s en los puntos H1
y H2
La trayectoria que describen estos puntos H1 y H2 al variar el punto P sobre la circunferencia se denomina Cisoide de Nicomedes

Cisoide en una circunferencia

Cisoide en una hipérbola

Dibujamos una hipérbola de focos F y F' centrada en O y que pase por un punto C
Los puntos A y B son los vértices del eje real
Desde B trazamos una recta, t, perpendicular al eje AB
Ahora consideramos sobre la hipérbola un punto arbitrario P
Desde A trazamos la recta, s, que pasa por A y por P
La recta s corta a la recta t en el punto J
Después con centro en J y radio la distancia(J,B) trazamos una circunferencia c
Dicha circunferencia c' corta a la recta s en los puntos H1
y H2
La trayectoria que describen estos puntos H1 y H2 al variar el punto P sobre la circunferencia la denomino Cisoide en una hipérbola

Cisoide en una hipérbola

 

Cisoide en una elipse

Dibujamos una elipse de focos F y F' centrada en O y que pase por un punto C
Los puntos A y B son los vértices del eje mayor
Desde B trazamos una recta, t, perpendicular al eje AB
Ahora consideramos sobre la elipse un punto arbitrario P
Desde A trazamos la recta, s, que pasa por A y por P
La recta s corta a la recta t en el punto J
Después con centro en J y radio la distancia(J,B) trazamos una circunferencia c
Dicha circunferencia c' corta a la recta s en los puntos H1
y H2
La trayectoria que describen estos puntos H1 y H2 al variar el punto P sobre la circunferencia la denomino Cisoide en una elipse

Cisoide en una elipse