ACTIVIDADES PRÁCTICAS

De un cuadrado salen dos

Cometas

DE UN CUADRADO SALEN DOS

Imprime este cuadrado (o dibújalo en un folio) y recórtalo separando las ocho piezas de que consta. Después forma con ellas dos cuadrados, de forma que uno de ellos sea el doble que el otro.

¡MÁS DIFÍCIL TODAVÍA!

Imprime este cuadrado (o dibújalo en un folio) y recórtalo separando las siete piezas de que consta. Después forma con ellas un rectángulo, o tres cuadrados más pequeños e iguales.

COMETAS

Se dice que una cometa es un cuadrilátero que cumple las siguientes condiciones:

  • Sus lados son iguales dos a dos
  • Los lados iguales son consecutivos

  1. Construye de varias formas diferentes una cometa.

Comprueba que la construcción es correcta. Para ello, mueve los puntos libres del dibujo y observa que la figura sigue siendo una cometa.

2. En función del tipo de construcción elegida, ¿qué tienen que cumplir las cometas para que sean convexas ó cóncavas?

3. Si se unen los puntos medios de los cuatro lados de una cometa. ¿Qué cuadrilátero se forma?

4. Dibuja las diagonales de una cometa y observa propiedades que tienen. Comprueba si estas propiedades lo son también para las cometas cóncavas

5. Dibuja casos particulares de cometas como el cuadrado o el rombo. Comprueba si cumplen las propiedades mencionadas anteriormente y busca propiedades que tengan estas figuras y no las cometas.

6. Dibuja una cometa y calcula el valor de su área. ¿Existe alguna relación entre el área y las diagonales de una cometa? Comprueba tu conjetura haciendo modificaciones en la cometa y observa que se mantienen las propiedades.

7. Inscribe en un rectángulo ABCD una cometa EFGH de manera que H y F sean los puntos medios de los lados AD y BC.

a) ¿Qué relación hay entre el área de la cometa y el área del rectángulo?

b) ¿Cómo cambia esta relación a medida que los puntos E y G se mueven?

c) ¿Cuál es el valor máximo del área?

d) ¿Cuánto vale el perímetro de la cometa cuando ésta cambia bajo las mismas condiciones?

e) ¿Si el perímetro cambia, cuál es su valor mínimo?

1. CONSTRUIR COMETAS

Esta actividad debe hacerse en grupos para dar más ideas

a) Construir dos círculos que se corten. El cuadrilátero que se forma uniendo los centros de los círculos y los puntos de intersección es una cometa

b) Construir un segmento y su mediatriz. Marcar dos puntos diferentes sobre la mediatriz y unir estos puntos con los extremos del segmento. Se forma una cometa.
c) Construir dos triángulos isósceles que tengan en común la base. Los pares de lados iguales de los dos triángulos forman una cometa.

d) Dibuja dos segmentos que tengan en un común un extremo. Dibuja la recta que pasa por los otros dos extremos de los segmentos. Construye los segmentos simétricos de los iniciales respecto de la recta. Los cuatro segmentos dibujados forman una cometa.

e) Haz un rectángulo. Marca los puntos medios de dos de sus lados. Dibuja una recta paralela a dichos lados que corte a los otros dos o sus prolongaciones en otros dos puntos. Marca estos puntos de intersección. El polígono formado al unir estos cuatro es una cometa.

f) Dibuja un triángulo. Haz el triángulo simétrico respecto uno de sus lados. Los otros dos lados junto con sus simétricos forman una cometa.

2. En función de los métodos empleados en la actividad anterior, para dibujar una cometa, la cometa será cóncava si:

a) Los centros de los círculos están en el mismo lado del segmento que los puntos de intersección.

b) Los dos puntos de la mediatriz están a un mismo lado del segmento.

c) Cuando los dos terceros vértices de los triángulos están a un mismo lado de la base.

d) Cuando los extremos no comunes de los segmentos estan en el mismo lado con respecto a la perpendicular trazada desde el extremo común a la recta de simetría.

e) Cuando la recta paralela corta, no a los lados, sino a las extensiones de los mismos.

f) Cuando la altura sobre el lado que hace de eje de simetría no corta a dicho lado sino a una extensión del mismo.

3. El cuadrilátero que se forma al unir los puntos medios de los lados de una cometa es para cualquier caso un rectángulo.

Dibuja cada diagonal de la cometa. Los segmentos medios de los triángulos formados por la diagonal de la cometa son paralelos a la base (diagonal) y por tanto paralelos a cada lado. Esta propiedad se cumple para las dos diagonales y los dos pares de segmentos paralelos.

Una de las formas con que hemos definido la cometa es como los lados de dos triángulos isósceles, que tienen en común la base. Si se utiliza esta definición, la diagonal que une el tercer vértice de uno de los triángulos con el del otro, es la mediatriz de la base, es decir, la otra diagonal.

En consecuencia, las diagonales son perpendiculares, y el paralelogramo formado por los puntos medios es un rectángulo.

4. Las diagonales de una cometa son siempre perpendiculares, por lo explicado anteriormente.

5. Todas las propiedades de las cometas son también propiedades del rombo y del cuadrado, ya que estas figuras son casos particulares de las cometas. Busca propiedades de estas figuras que no sean propiedades de las cometas.

6. El área de una cometa es igual al semiproducto de las longitudes de sus diagonales. Observa el siguiente dibujo:

En el caso particular del rombo y del cuadrado como cometas, el área de estas figuras es la mitad del cuadrado de la diagonal.

7. El área de la cometa es la mitad del área del rectángulo, sea cualesquiera la ubicación del vértice de la cometa que se mueve a lo largo del lado del rectángulo.

8. El perímetro cambiará a medida que E y G se muevan. Se hará mínimo cuando estos vértices se encuentren en los puntos medios del rectángulo, es decir, cuando la figura sea un rombo.

Una nube de puntos de los diferentes perímetros de EFGH en función de la longitud AE describirán una curva elíptica con el máximo cuando E coincida con A y D, es decir, cuando la cometa se convierte en un triángulo.

Soluciones

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